かじもとにっき

ゆるふわなおはなしをかきます

2項関係(13)

定義 左除算

R:X \to YS:X \to Zの時、
R\backslash {\rm{S}}\mathop  = \limits^{def}  \cup \left\{ {X;R \circ X \subseteq S} \right\}

定理

R\backslash {\rm{S = }}\overline {{R^T} \circ \overline S }

証明

任意のXについて、
\begin{array}{l}R \circ X \subseteq S\\ \equiv {R^T} \circ \overline S  \subseteq \overline X \\ \equiv X \subseteq \overline {{R^T} \circ \overline S } \end{array}
なので、
 \cup \left\{ {X;R \circ X \subseteq S} \right\} \subseteq \overline {{R^T} \circ \overline S }

また、
\begin{array}{l}R \circ \overline {{R^T} \circ \overline S }  \subseteq S\\ \equiv {R^T} \circ \overline S  \subseteq {R^T} \circ \overline S \\ \equiv {\mathop{\rm true}\nolimits} \end{array}
より、
\overline {{R^T} \circ \overline S }  \in \left\{ {X;R \circ X \subseteq S} \right\}
よって\overline {{R^T} \circ \overline S }  \subseteq  \cup \left\{ {X;R \circ X \subseteq S} \right\}

定義 右除算*1

R:X \to ZS:Y \to Zの時、
R/{\rm{S}}\mathop  = \limits^{def}  \cup \left\{ {X;X \circ S \subseteq R} \right\}

定理

R/{\rm{S = }}\overline {\overline R  \circ {S^T}}

定理 分配律

R\backslash (P \cap Q) = (R\backslash P) \cap (R\backslash Q)
(P \cap Q)/R = (P/R) \cap (Q/R)

(P \cup Q)\backslash R = (P\backslash R) \cap (Q\backslash R)
P/(Q \cup R) = (P/Q) \cap (P/R)

定理

{(R\backslash {\rm{S)}}^T} = {S^T}/{R^T}
{(R/S)^T} = {S^T}\backslash {R^T}

定理

R \circ (R\backslash {\rm{S}}) \subseteq S
(R/{\rm{S}}) \circ S \subseteq R

S \subseteq R\backslash (R \circ S)
S \subseteq (S \circ R)/R

R \circ (R\backslash (R \circ S)) = R \circ S
((S \circ R)/R) \circ R = S \circ R

定理

P \circ Q \subseteq R \equiv Q \subseteq P\backslash R
P \circ Q \subseteq R \equiv P \subseteq R/Q

*1:商集合にはどんな記号を使おうか…