かじもとにっき

ゆるふわなおはなしをかきます

2項関係(5)

定義 reflexive relation

R:X \to Xの時、

\begin{array}{l}R:{\mathop{\rm reflexive}\nolimits} \\\mathop  \equiv \limits^{def} \forall x \in X.xRx\\ \equiv {\rm I} \subseteq R\end{array}

定義 irreflexive relation

R:X \to Xの時、

\begin{array}{l}R:{\mathop{\rm irreflexive}\nolimits} \\\mathop  \equiv \limits^{def} \forall x \in X.x\not Rx\\ \equiv R \subseteq \overline {\rm I} \end{array}

定義 coreflexive relation

R:X \to Xの時、

\begin{array}{l}R:{\mathop{\rm coreflexive}\nolimits} \\\mathop  \equiv \limits^{def} \forall x,y \in X.xRy \Rightarrow x = y\\ \equiv R \subseteq {\rm I}\end{array}

定義 reflexive closure

R:X \to Xの時、
{\mathop{\rm refl}\nolimits} R\mathop  = \limits^{def}  \cap \left\{ {X;R \subseteq X \wedge X:{\mathop{\rm reflexive}\nolimits} } \right\}

定理

{\mathop{\rm refl}\nolimits} R = R \cup {\rm I}

証明

\begin{array}{l}R \subseteq X \wedge X:{\mathop{\rm reflexive}\nolimits} \\ \equiv R \subseteq X \wedge {\rm I} \subseteq X\\ \Rightarrow R \cup {\rm I} \subseteq X\end{array}
なので、{R \subseteq X \wedge X:{\mathop{\rm reflexive}\nolimits} }を満たす任意のXに対してR \cup {\rm I} \subseteq X
よってR \cup {\rm I} \subseteq  \cap \left\{ {X;R \subseteq X \wedge X:{\mathop{\rm reflexive}\nolimits} } \right\}
また、R \subseteq R \cup {\rm I}{\rm I} \subseteq R \cup {\rm I}よりR \cup {\rm I} \in \left\{ {X;R \subseteq X \wedge X:{\mathop{\rm reflexive}\nolimits} } \right\}
よって\cap \left\{ {X;R \subseteq X \wedge X:{\mathop{\rm reflexive}\nolimits} } \right\} \subseteq R \cup {\rm I}