かじもとにっき

ゆるふわなおはなしをかきます

2項関係(4)

定義 domain of definition

R:X \to Yの時、
{\mathop{\rm def}\nolimits} R\mathop  = \limits^{def} \left\{ {x \in X;\exists y.xRy} \right\}

プログラミングにおいてpartialityは重要なので、domainとdomain of definitionを明確に区別することにする

定義 image

R:X \to Yの時、
{\mathop{\rm img}\nolimits} R\mathop  = \limits^{def} \left\{ {y \in Y;\exists x.xRy} \right\}

定理

{\mathop{\rm def}\nolimits} {R^T} = {\mathop{\rm img}\nolimits} R
{\mathop{\rm img}\nolimits} {R^T} = {\mathop{\rm def}\nolimits} R
\Gamma R \subseteq {\mathop{\rm def}\nolimits} R \times {\mathop{\rm img}\nolimits} R \subseteq {\mathop{\rm dom}\nolimits} R \times {\mathop{\rm cod}\nolimits} R
等が成り立つ。