かじもとにっき

ゆるふわなおはなしをかきます

2項関係(2)

定義 部分関係

R:X \to YかつS:X \to Yの時、
\begin{array}{l}R \subseteq S\\\mathop  \equiv \limits^{def} \forall x \in X,y \in Y.xRy \Rightarrow xSy\\ \equiv \overline R  \cup S = \Omega \\ \equiv R \cap \overline S  = \emptyset \\ \equiv R \cup S = S\\ \equiv R \cap S = R\end{array}

定義 転置関係*1

R:X \to Yの時、
{R^T}\mathop  = \limits^{def} \left\langle {\left\{ {\left\langle {y,x} \right\rangle ;xRy} \right\},Y,X} \right\rangle

定理

{({R^T})^T} = R
{\overline R ^T} = \overline {{R^T}}
{(R \cup S)^T} = {R^T} \cup {S^T}
{(R \cap S)^T} = {R^T} \cap {S^T}
{{\rm I}_X}^T = {{\rm I}_X}
{\Omega _{X,Y}}^T = {\Omega _{Y,X}}
{\emptyset _{X,Y}}^T = {\emptyset _{Y,X}}
R \subseteq S \equiv {R^T} \subseteq {S^T}

*1:反対関係、逆関係などとも言うが、一般にR \circ {R^T} = {\rm I}は成り立たないので逆関係という言い方はあまり好きじゃない