かじもとにっき

ゆるふわなおはなしをかきます

続・第1回 ものまね鳥をまねる会

前回の日記の続きです。
この辺でぼくは用事で帰りました。

2章の1問目

出会った人物をXとし、命題変数を4つ導入します。
a:Xはジョンである。
b:Xはジェームズである。
c:Xはウィリアムである。
h:Xは正直者である。

事実をいくつか形式化します。
F0:h \equiv c
F1:\neg h \equiv a \vee b
F2:(a \equiv b \equiv c) \wedge \neg (a \wedge b \wedge c)

Xに対する「Qは真か?」という問いの答えが真になることと、Xがジョンであることとが同値な論理式をQとすると、
F3:h \equiv Q \equiv a
が成り立ちます。
(Xが正直者であればQの値はaと等しくなければなりませんし、Xが正直者でなければQの値はaの否定に等しくなければなりません)

F2から、

F0
\equiv \neg h \equiv a \not \equiv b
\equiv h \equiv a \equiv b

が得られますので、

Q
\equiv h \equiv a
\equiv b

となり、質問として「Are you James?」が使えます。

2章の2問目

出会った人物をXとし、命題変数を4つ導入します。
a:Xはジョンである。
b:Xはジェームズである。
c:Xはウィリアムである。
h:Xは正直者である。

事実をいくつか形式化します。
F0:h \equiv a \vee bF2よりこれはh \equiv a \not \equiv bと同値)
F1:\neg h \equiv c
F2:(a \equiv b \equiv c) \wedge \neg (a \wedge b \wedge c)

さらに、Xに対する「Qは真か?」という問いの答えが真になることと、Xがジョンであることとが同値な式をQとすると、
F3:h \equiv Q \equiv a
が成り立ちます。

従って、

Q
\equiv h \equiv a
\equiv \neg b

なので、質問として「Are you James?」が使えます(Xがジョンかどうかはこの質問の答えとは反対になります)。

2章の3問目

質問の相手をXとし、命題変数を2つ導入します。
a:Xはアーサーである。
h:Xは正直者である。

Xに対する「Qは真か?」という問いの答えが真になることと、Xがアーサーであることとが同値な式をQとすると、
h \equiv Q \equiv a
が成り立ちます。
この式は、
Q \equiv h \equiv a
と同値なので、質問として「Is Arthur honest?」が使えます。
(答えがNoならもう一人がアーサーです)

もうちょっと厳密に

上記の解答だと最後のh \equiv aを日本語に言い換えてる部分に説明不足感あるので。

質問相手をX、もう一人をYとします。
述語を2つ導入します。
ax:xはアーサーである。
hx:xは正直者である。

このとき、
F0:aX \not \equiv aY
F1:hX \not \equiv hY
が成り立ちます。

また、Xに対する「Qは真か?」という問いの答えが真になることと、Xがアーサーであることとが同値な式をQとすると、
F2:hX \equiv Q \equiv aX
が成り立ちます。

Q
\equiv aX \equiv hX
\equiv (aX \equiv hX) \wedge (\neg aY \equiv \neg hY)
\equiv (aX \equiv hX) \wedge (aY \equiv hY)
\equiv \forall x \in \{X,Y\} . ax \equiv hx

なので、質問として「Is Arthur honest?」が使えます。

2章の4問目

質問の相手をXとし、命題変数を2つ導入します。
a:Xはアーサーである。
h:Xは正直者である。

Xに対する「Qは真か?」という問いの答えが真になることと、a \equiv hが同値な式をQとすると、
h \equiv Q \equiv a \equiv h
が成り立ちます。
この式は、
Q \equiv a
と同値なので、質問として「Are you Arthur?」が使えます。

2章の5問目

質問の相手をXとし、命題変数を2つ導入します。
a:Xはアーサーである。
h:Xは正直者である。

Xに対する「Qは真か?」という問いの答えが真になることと、hが同値な式をQとすると、
h \equiv Q \equiv h
が成り立ちます。
この式は、
Q \equiv true
と同値なので、トートロジーな質問なら何でもいいことになります。

2章の6問目

質問の相手をXとし、命題変数を2つ導入します。
a:Xはアーサーである。
h:Xは正直者である。

Xに対する「Qは真か?」という問いの答えが常に真な式をQとすると、
h \equiv Q
が成り立ちます。
つまり、「Are you honest?」という質問をすればいいことになります。