かじもとにっき

ゆるふわなおはなしをかきます

解析リハビリ

\(A\)を順序整域\(S\)の非空の部分集合とする。また、\(x \in S\)とする。

定義

\(x{\rm{は}}A{\rm{の上界}} \Leftrightarrow \forall a \in S.a \le x\)

定義

\(x{\rm{は}}A{\rm{の最小上界}} \Leftrightarrow x{\rm{は}}A{\rm{の上界}} \wedge \forall y \in S.y{\rm{は}}A{\rm{の上界}} \Rightarrow x \le y\)

定理

\(x{\rm{は}}A{\rm{の最小上界}} \Leftrightarrow x{\rm{は}}A{\rm{の上界}} \wedge \forall \varepsilon > 0.\exists a \in A.x - \varepsilon < a\)。

証明

\(x{\rm{は}}A{\rm{の上界}}\)と仮定し、
\(\left( {\forall y \in S.y{\rm{は}}A{\rm{の上界}} \Rightarrow x \le y} \right) \Leftrightarrow \left( {\forall \varepsilon > 0.\exists a \in A.x - \varepsilon < a} \right)\)
を示す。

\({\rm{左辺}} \Rightarrow {\rm{右辺}}\)について。

\(\forall y \in S.\left( {\forall a \in S.a \le y} \right) \Rightarrow x \le y\)と仮定する。
これは、\(\forall y \in S.y < x \Rightarrow \exists a \in S.y < a\)と同値である。
今、任意の\(\varepsilon \in S\)について、\(\varepsilon > 0\)ならば\(x > x - \varepsilon \in S \)なので、\(\exists a \in S.x - \varepsilon < a\)である。
よって、\(\forall \varepsilon > 0.\exists a \in S.x - \varepsilon < a\)が示された。

\({\rm{左辺}} \Leftarrow {\rm{右辺}}\)について。

\(\forall \varepsilon > 0.\exists a \in A.x - \varepsilon < a\)と仮定すると、\(\exists a \in A.\forall \varepsilon > 0.x - \varepsilon < a\)が得られる。
今、\(a \in A \wedge \forall \varepsilon > 0.x - \varepsilon < a\)と仮定する。
任意の\(y \in S\)について、\({\forall a \in S.a \le y}\)を仮定すると、

補題

順序整域において、\(\left( {\forall \varepsilon > 0.x - \varepsilon < y} \right) \Leftrightarrow x \le y\)

証明

\( {\forall \varepsilon > 0.x - \varepsilon < y} \)と仮定する。
\(x > y\)と仮定すると\(0 < x - y\)だが、\(\varepsilon \in S\)として\(x - y\)を取ると\(x - (x - y) = y < y\)となり矛盾すので\(x \le y\)。
逆に\(x \le y\)と仮定すると、任意の\({\varepsilon > 0}\)に対し\(x - \varepsilon < x \le y\)。

を用いて、\(\left( {\forall \varepsilon > 0.x - \varepsilon < a} \right) \Leftrightarrow x \le a\)。
\(a \le y\)と合わせて、\(x \le y\)。
よって、\(\forall y \in S.\left( {\forall a \in S.a \le y} \right) \Rightarrow x \le y\)が示された。